?

Log in

No account? Create an account

[sticky post] Ёросику

Друзья, я вернулась. И не одна. Иногда здесь будет писать мой папа о своих изысканиях в области физики (под аватаркой "панда").
Тем, кто впервые заглянул на огонёк, добро пожаловать! Ёросику, как говорят японцы!
Известного блогера ivanov_petrov спросили (https://ivanov-petrov.livejournal.com/2170198.html): "Как вы успеваете все это находить. Было бы интересно послушать про ваш алгоритм поиска информации".

И вот какой ответ получили: "Способ всем известный - по цитатам и отзывам ищу литературу и читаю. Для такого способа - метод "грибных мест" - надо иметь мощные фильтры, иначе погибнешь под завалами литературы. Обычно кто так пытается действовать, быстро остается далеко позади - у него очереди на 10 лет вперед, и всё. У меня фильтры - рекомендации от тех, в ком убедился, ссылки из признанных достойными книг, соображения популярности и моды мало влияют. Стараюсь не сканировать книгу, а читать с пониманием - это экономит время. Потому что множество книг на 30-50 странице проявляют свою никчемность и я их закрываю - в том числе и книги знаменитостей. Ясно же, что в Жж я говорю о едва одной из 100 прочитанных книг и одной из 1000 статей. Когда улавливаешь мысль автора и понимаешь зерно его рассуждений, вся книга читается очень легко и быстро - потому что вместо нескончаемых страниц, забитых невнятными подробностями, я вижу ясную схему - вот его мысль (в ней дай боже три страницы), вот аргументация от такого возражения, вот подкрепление на этот случай, вот полемика с тем авторитетом - все это второстепенно и не требует такого внимательного чтения."

Выводы делайте сами, дорогие читатели.
Вы не представляете, как я рад своим читателям.
Уж как они ругали меня в комментариях, а я рад.

deep_econom и celen_me указывали на ошибку в постановке задачи,
pyka_npu3paka и снова celen_me журили меня в излишней простоте задачи, годной только для студентов матфака, а я всё равно рад.
Только мудрый evgeniirudnyi поддержал меня, указав на работу прекрасного математика: Galperin G. A., Playing pool with π (the number π from a billiard point of view), Regular and Chaotic Dynamics, 2003, vol. 8, no. 4, pp. 375-394.

Дело в том, что меня мало интересовала правильность представленного решения. Хотя и остаюсь при мнении, что решение правильное, а условие задачи - неточное. Меня интересовал вопрос: "Откуда берётся число π, если никаких вращений в задаче не предусматривается? Только - линейное движение и зеркальное отражение." И вот что получилось.

celen_me представил уравнения сохранения энергии и импульса
p[n+1]^2 + a*q[n+1]^2 = p[n]^2 + a*q[n]^2
p[n+1] + q[n+1] = p[n] - q[n]
для шаров с соотношением масс a = M/m иначе, использовав замену переменных:
x = p
y = q*sqrt(a)
и
cos(fi) = (a-1)/(a+1)
sin(fi) = 2*sqrt(a)/(a+1),
где fi - новый параметр задачи, означающий поворот векторов x и y на угол fi. При этом
cos(fi)^2+sin(fi)^2 = 1.

Вот где возникает вращение! Отношения масс задают угол, а два закона сохранения (энергии и импульса) - возможность вращения, но в другой системе координат! Но мы ведь знаем, что закон сохранения энергии связан с однородностью времени, а закон сохранения импульса - однородностью пространства. Так при чём здесь вращение?

Для меня всё выше сказанное означает подтверждение гипотезы о том, что всё в природе состоит из квантов действия, которые по размерности являются моментом импульса и поэтому изначально допускают вращение. И Время, и Пространство, и Законы сохранения таковы потому, что окружающее нас электромагнитное пространство состоит из одинаковых квантов действия h, заполняющих его плотно и равномерно. А однородность Времени дополнительно определяется постоянством скорости света c и нулевой массой фотонов. Что выражается в линейном законе дисперсии фотонов: E=pc.

А вы говорите простая задачка... Вот почему я всё ещё рад.

И снова о числе "пи"

Недавно в Институте математики, Новосибирск проходил семинар, на котором в качестве "лирического отступления" рассказали об одном удивительном результате, касающегося числа "пи". Вернее, о последовательности цифр при записи числа "пи" в десятеричной системе исчисления.

Требуется небольшой рисунок, но при отсутствии подходящего графического пакета и умения с ним работать, попробую изобразить его в одной строке при помощи трёх символов: | o O.

| - это (абсолютно) упругая стенка;
о - маленький (абсолютно) упругий шарик;
О - большой (абсолютно) упругий шарик.

Условия задачи: все три объекта расположены на горизонтальной поверхности без трения.
Стенка | прочно закреплена, маленький шарик о покоится, большой шарик О на него налетает (лобовой удар в одномерной задаче). Скорость большого шарика не имеет значения, важно отношение масс большого шарика к малому M/m.
Вопрос: сколько раз ударится маленький шарик о стенку, пока не заставит большой шарик двигаться в обратном направлении (от стенки)?
Чтобы не мучить читателей, сразу перейду к ответу, который со слов докладчика был получен при решении задачи путём численного моделирования. А поломать голову вы ещё успеете.
Ответ будет зависеть от отношения M/m следующим образом.

M/m = 10, число столкновений = 3;
M/m = 100, число столкновений = 31;
M/m = 1000, число столкновений = 314;
M/m = 10^4, число столкновений = 3141;
M/m = 10^5, число столкновений = 31415;
M/m = 10^6, число столкновений = 314159;
M/m = 10^7, число столкновений = 3141592;
...
M/m = 10^n, число столкновений состоит из n цифр, последовательность которых точно повторяет n значащих цифр числа "пи".

Как такое может быть? Мы знаем, как получить число "пи" из отношения длины окружности к её диаметру путём замены окружности периметром правильного вписанного или описанного многогранника при "бесконечном" увеличении его сторон. Но чтобы величина числа "пи" зависела от числа ударов маленького шарика о стенку, да ещё в десятеричной системе, такое просто не укладывается в голове. Как может универсальное число, можно сказать, мировая константа зависеть от "произвольного" выбора экспериментатором двух шариков, да ещё от "произвольного" способа записи полученного числа соударений, - вопрос, который не даёт спокойно спать. Может, мы чего-то не знаем о законах природы? Или о самой математике?
Конечно, - привести его в контакт с более горячим телом, или обеспечить перенос энергии к нему каким-либо другим способом. Так говорит нам школьная физика, да и взрослая - тоже. Но каков механизм переноса, и что происходит при этом с нагреваемым телом? Существующая классическая концепция молекулярно-кинетического состояния вещества расскажет нам, что при нагревании атомы и молекулы движутся всё быстрее, вращаются сильнее и колеблются интенсивнее. А при радиационном переносе энергии фотоны, хоть и движутся с одинаковой скоростью, но их становится всё больше и больше, и они обладают большей энергией. Но попробуйте спросить, что такое фотон, что такое электрон, каковы их размеры и размер атомов в газе, вам будет нелегко найти черную кошку в тёмной комнате, особенно когда её там нет ответы на такие простые вопросы.

Написать этот пост неожиданно заставила заметка (https://ss69100.livejournal.com/4229019.html), а вернее - приведённый там комментарий с буквально следующими словами: "На солнце происходят явления, которые начали полностью изменять жизнь на нашей планете. В атомах водорода начала выгорать оболочка 3-го слоя. Шестой по счету слой получается, если считать от 8-го наружного слоя. Разница в уровнях энергий с предыдущим 4-ым слоем примерно 20 МэВ. Т.е. на землю уже!!! начали поступать более высокоэнергетические (высокочастотные) кванты!"

Ужас, ужас! Какой кошмар! Энергетические оболочки вокруг протона, то бишь атома водорода! - Чушь конечно. Поэтому появилось желание написать возражение на то, что "внутри Солнца водород излучает всё более коротковолновые фотоны со своего 3-его электронного уровня, вместо первоначально 8-го". Но мысль о наличии нескольких "энергетических" оболочек вокруг протона в плазме, тем не менее, не давала покоя. И вот что подумалось.

Я уже писал в этом блоге (https://vida-louca.livejournal.com/20500.html) о том, что происходит с дискретным пространством в сжимаемом и, следовательно, нагревающемся газе, для простоты - одноатомном. То, что происходит в пространстве твёрдого тела (https://vida-louca.livejournal.com/15863.html) или в пространстве, занимаемом жидкостью (https://vida-louca.livejournal.com/16066.html), я тоже себе представляю. Даже представляю, с чем связано испарение атомов или молекул, какие особенности существуют при их конденсации. А вот что происходит с газом дальше при нагревании, как образуется частично ионизованная или полностью ионизованная плазма, я раньше не думал. И вот понимание того, что газ отличается от жидкости и тем более - от твёрдого тела тем, что каждая его молекула обладает одним целым квантом действия h (известным как постоянная Планка), общим с тем же квантом h окружающего электромагнитного пространства, пришло впервые. И это даёт очень специфическую картину нагрева газа. Хотя электронная подсистема при этом продолжает использовать внешние кванты от нагревателя на увеличение своего подпространства.

Получается, что число квантов действия h или число занимаемых "ячеек" в окружающем пространстве точно равно N - числу атомов или молекул газа. И оно не меняется в процессе нагрева. Полная величина действия, если не учитывать электронную подсистему, как-будто бы сохраняется, но энергия и температура газа, тем не менее, увеличивается. Как это может быть? А вот как: квант действия представляет собой двухпараметрический объект (https://vida-louca.livejournal.com/18411.html). Что-то вроде прямоугольника равной площади при возможном изменении его сторон. То есть квант действия представляет собой или произведение характерной энергии на характерное время Et, или - произведение характерного импульса на характерный пространственный масштаб px. Здесь можно вспомнить об аналогичном соотношении неопределённости Гейзенберга и сразу забыть, когда по отдельности величины E и t, также как p и x в квантовой механике не могут быть определены в принципе. И вот при нагреве от внешнего источника (теплового бассейна) мы просто "заменяем" одни кванты действия, принадлежащие атомам, на другие. С большей характерной энергией (меньшим временем) и большим характерным импульсом (меньшим масштабом, занимаемым самим атомом/молекулой). Тем самым увеличивая полную энергию и давление в газе в полном соответствии с классической термодинамикой. У атомов есть ещё своё подпространство электронных оболочек, о которых было написано (https://vida-louca.livejournal.com/20500.html) и (https://vida-louca.livejournal.com/15863.html), и которое проявляет себя в неидеальном поведении газа. Это электронное подпространство продолжает приобретать дополнительные кванты действия при нагреве, и немного увеличивается в размерах точно также, как оно вело себя раньше при нагреве твёрдого и жидкого состояния. Пока газ остаётся газом, это расширение можно не учитывать, поскольку оно оказывается малым или несущественным при рассмотрении тепловых свойств газа. Но оно будет принципиально влиять на переход газа в состояние плазмы.

Раньше я думал, что при нагреве газа, жидкости, твёрдого тела всё происходит примерно одинаковым образом. Каждый квант действия, переданный извне (тепловым бассейном), распределяется среди ВСЕХ N элементов нагреваемой системы так, как это происходит в целочисленном квантовом эффекте Холла (https://vida-louca.livejournal.com/19471.html). Кстати, этот эффект - прекрасный экспериментальный результат, заслуженно получивший Нобелевскую премию, но незаслуженно объяснённый через дискретные уровни Ландау. Или по альтернативному сценарию - каждому атому добавляется второй квант действия, потом третий и так далее, как это происходит с дробным квантовым эффектом Холла (https://vida-louca.livejournal.com/19471.html), тоже получившим свою Нобелевскую премию и опять объяснённым неправильно. Но оказывается, нагрев газа обладает своей собственной спецификой, описанной выше.

Когда же нагрев газа приведёт к тому, что "размер" атома сравняется с "размером" потихоньку увеличивающегося пространства "электронных оболочек", тогда наступит критический момент (критическое явление). "Выступающее наружу" пространство электронов (фермионное, в отличие от бозонного фотонов) будет ВЫНУЖДЕНО занять дополнительно один квант действия окружающего пространства. То есть, один электрон станет собственником одной "ячейки" пространства, а однократно ионизованный атом станет обладателем другой! Ну и так далее: двукратным, трёхкратным и больше ионизованным, а что будет совсем далеко - я ещё не думал.

Чуть не забыл то, с чего начал. Вот оказавшиеся "свободными" электроны в плазме как раз могут "надевать" на себя несколько целых квантов действия, как это действительно происходит с ними в условиях дробного квантового эффекта Холла в очень сильных магнитных полях. То есть, иметь те самые "энергетические оболочки", которые в начале этой записи я назвал ЧУШЬЮ. Как в той поговорке: "Сказка ложь, да в ней намёк - добрым молодцам урок".

Искренне ваш - Дулин Михаил.
Сейчас в Новосибирске проходит конференция по горению топлива. Казалось бы, ну что можно обсуждать на конференции по горению?

Конечно, это практические применения: горелочные устройства различного типа; эффективность и экологичность сгорания различных топлив; перспективы их применения в тех или иных технологических процессах. Это автомобильные, самолётные и ракетные двигатели. Это газовые турбины и топочные котлы различного назначения, которые приносят электричество и тепло в наш дом.

Но не только. А много ли мы знаем, что такое горение? Какие химические реакции участвуют в этом процессе и каков, собственно, их механизм? Что нового мы можем здесь узнать?

Школьники, студенты, молодые и не очень учёные скажут, что молекулярно-кинетические представления позволяют сказать почти всё об участниках реакций и даже записать соответствующие уравнения для скоростей их реакций. Например, знаменитое уравнение Аррениуса, в котором скорость реакции экспоненциально зависит от обратной температуры (1/Т). Чем выше температура Т, тем легче электронам преодолеть некий энергетический барьер Е при столкновении реагирующих молекул и образовать новые молекулы, которые и являются продуктами реакции.

Но так ли всё происходит на самом деле? Именно так, особенно для низкомолекулярных разреженных газов и при высоких температурах. Но не всегда. Как рассказал нам на пленарном докладе Олег Пенязьков, академик Национальной академии наук Беларуси, модельная установка по сжатию горючих газов (водород, метан) в круглой трубе показала аномально большую задержку воспламенения газа при малых начальных температурах. Мало того, что получались сильные отклонения от закона Аррениуса, так эти отклонения имели большой случайный разброс от среднего значения при одних и тех же начальных условиях в эксперименте. Ну, никакого разумного объяснения! Ни очистка газа, ни полировка трубы - ничего не помогало. Пока не сделали торец трубы прозрачным и не поставили туда скоростную видеокамеру. И что же? Взору предстала замечательная картина: в случайном месте по сечению трубы, в разные моменты времени вспыхивала звёздочка - точка, от которой воспламенялось всё пространство трубы, занятое газом. Как будто вспышка сверхновой звезды в космическом пространстве.

Так что же происходило на самом деле? Почему газ так долго не воспламенялся, несмотря на сильную степень сжатия? И почему это происходило именно при низких начальных температурах газа? Оказалось, звёздочка загоралась от одной из случайных пылевых частиц, которые оставались в газе даже после его тщательной очистки. Это удалось выяснить после специального засевания газа посторонними частицами, которые теперь уже позволяли контролировать процесс воспламенения.

Теперь уже не оставалось сомнений, что посторонняя частица выступает в роли катализатора процесса зажигания. Но почему? Какую помощь оказывает в общем то "мусорная" частица процессу переноса электронов?

И тут самое время вспомнить про старую, добрую камеру Вильсона, послужившую многим учёным, исследовавших треки, образовавшиеся из сконденсировавшегося пара после пролёта через него заряженных частиц, например - электрона. Процессы конденсации пересыщенного пара и зажигания газовой смеси оказываются настолько похожи, что заставляют думать о них как о метастабильном состоянии, готовом совершить фазовый переход, но не готовом передать окружающей среде избыточную энергию в первом случае и передать энергию электронам в готовых прореагировать атомах - во втором.

Так с какими фундаментальными для природы вещами мы столкнулись на этот раз? Ни для кого не секрет, что мы не умеем описывать или описываем плохо фазовые переходы как таковые. Из первых принципов, с микроскопической точки зрения. Фактически, единственное, что у нас есть - это знания о молекулярном строении вещества и очень грубые предположения об их взаимодействии. Силовом взаимодействии посредством некоторого потенциала, которого никто не видел, то есть
не измерял прямым способом. Причем потенциала с упрощенным попарным взаимодействием, который сразу "отметает" любые случаи нелокального взаимодействия. Мне могут возразить, что давно существует классический метод описания гомогенной конденсации пара, который с привлечением понятия поверхностного натяжения позволяет проводить некоторые расчёты скорости конденсации, которые иногда оказываются приемлемыми. Вот именно иногда, а иногда отличающимися на много порядков. Да и квантово-механические расчёты попарного взаимодействия иногда удаются - здесь мне напомнят профессора Оганова из Сколково - но удаются только при температуре абсолютного нуля и при правильном выборе базиса волновых функций.

Но мы что-то отвлеклись на бесполезную критику, поскольку всё равно ничего лучшего для расчетов никто ещё не придумал. Давайте вернёмся к экспериментам Олега Пенязькова и подумаем как его "маленькое" открытие может превратиться в "большую" ступеньку на пути познания природы. Я имею в виду понимание того, что собой представляет физическое пространство, каким оно бывает, и что с ним происходит во время химических реакций.

Почему-то никто не задумывается над тем, что собой представляют электроны, окружающие атом, в каком пространстве они находятся. По умолчанию предполагается, что они как-то движутся в "обычном" трёхмерном пространстве, так удобном - как писал Пуанкаре - для распространения электромагнитных волн. Взаимодействуют между собой и ядром за счёт кулоновского потенциала, но при этом вынуждены подчиняться квантовым правилам, налагаемым на их энергию, орбитальный момент и спин. В таком представлении электроны не могут участвовать в тепловых процессах испарения-конденсации, поскольку их энергии перехода с уровня на уровень неизмеримо больше характерных тепловых энергий. И только для электронов незаполненных внешних оболочек допускается возможность "подбарьерного" перехода в процессе химической реакции.

Всё изменится, если предположить пространство "электронных оболочек" и окружающее трёхмерное "электромагнитное" пространство разными. Разными по составу (их элементы фермионы или бозоны), обладающими разной симметрией, разной скоростью возбуждения, но термодинамически вынужденными взаимодействовать друг с другом. Тогда в экспериментах Пенязькова задержка воспламенения будет связана с тем, что после быстрого сжатия газа пространство электронной подсистемы в атомах осталась "замороженным" при начальной низкой температуре так, что высокой энергии молекул газа требуется время, чтобы "нагреть" электроны или "заполнить" электронное подпространство. И уже в "заполненных" электронных подпространствах осуществить перенос электрона, необходимый для реакции горения. Присутствие пылевой частицы как катализатора благоприятно тем, что электрону молекулы реагента термодинамически выгодно взаимодействовать с частицей, состоящей из большого числа собственных атомов и выступающей в роли теплового бассейна. После того, как первая реакция произошла, её энергии может оказаться достаточно уже для прямого, безбарьерного переноса электрона между реагирующими молекулами. О чём можно судить по яркому излучению,
характерному для атомов с высокой температурой (высоким уровнем возбуждения).

С этих же позиций можно было бы разобрать и процесс конденсации пересыщенного пара, но наша задача сегодня другая - показать, что результаты Олега Пенязькова, прозвучавшие сегодня в докладе, могут стать веским аргументом при создании новых, ещё непривычных и во многом непонятных представлений об окружающих нас физических пространствах.

Искренне Ваш, Дулин Михаил.
Андрея Гейма из его Нобелевской лекции, опубликованной в журнале УФН, 2011, т.181, №12, с.1284. И не потому, что он Нобелевский лауреат и известный учёный, получивший важные экспериментальные результаты по графену, а потому, что некоторые его высказывания очень точно отражают мои собственные мысли. Мысли, которые не приходили мне в голову или которые было бы трудно выразить другими словами. А некоторые из его замечаний важны ещё и потому, что прямо указывают на "тёмные" места в исследовании графена, разработка которых вполне может привести к так желанной нами всеми "новой" физике.


1. "Создание принципиально новой экспериментальной системы в целом более выигрышно, чем попытки искать новые явления в уже известных областях. Шанс на успех в новых областях гораздо выше. Конечно, фантастические результаты, на которые надеешься, не всегда реализуются, зато в процессе создания нового неизбежно появляется что-то оригинальное."

- Хороший совет молодым, начинающим учёным. Добавлю, что при этом важно выбрать (найти) лабораторию с хорошим экспериментальным оборудованием и относительно молодым завлабом, известным хорошими публикациями.
- Совет стать экспериментатором хорош ещё тем, что многие выдающиеся открытия были сделаны в процессе экспериментов, иногда просто случайно. "Метод проб и ошибок" до сих пор замечательно работает, особенно при разработке современных технологий. В своё время я сказал своему сыну: "Будь экспериментатором, а стать теоретиком всегда успеешь".


2. "За последние пятнадцать лет я сделал несколько безрезультативных попыток исследовать "магнитную воду", так что прояснить ситуацию мне не удалось."

- Даже Нобелевские лауреаты не гнушаются заниматься "лженаукой". Ибо "нет пророка ни в каком отечестве", и там, где наука "лже", вполне могут оказаться важные, серьёзные явления. Нужно сказать, что А. Гейм всегда интересовался влиянием внешних полей на свойства конденсированной среды и тут "магнитная вода" оказалась естественным объектом исследования. Другое дело - мы не всегда можем правильно оценить ожидаемый эффект, тем более, что вода (жидкость) до сих пор остаётся плохо понимаемым и удивительным объектом. Вот и автор этих строк сильно интересуется влиянием внешних полей на расширение-сжатие макроскопических образцов в конденсированном состоянии. Но обнаружить в литературе сколько-нибудь значимые эксперименты до сих пор не удалось. Эффект может оказаться мизерным, но имеющим принципиальное значение в моих глазах. Кстати, будучи студентом, Андрей тоже думал над этой проблемой. Вот его слова: "Я думал о том, как использовать эффект электрического поля и рентгеноструктурный анализ для воздействия на образец и определения того, как изменится при этом постоянная решетки. Это было весьма наивно, так как простые оценки показывают, что эффект был бы пренебрежимо малым".


3. "История с левитацией (лягушки в огромной капле воды в сильном магнитном поле - добавление моё) была интересной и увлекательной. Она преподала мне важный урок, что пробные эксперименты в направлениях, далёких от сиюминутных научных исследований, могут привести к интересным результатам, даже если изначальная идея была совсем незамысловатой."

- Замечательный пример для подражания. Ну хотя бы в мыслях, если в реальной жизни условия лаборатории не позволяют. Диву даёшься, почему это не приходит в голову другим. Впрочем, как и мне самому в молодые годы. Кстати, именно за эксперименты с этой лягушкой Андрей получил шутливую Шнобелевскую премию.


4. "Научная литература полна блестящих идей, которые, однако, не работают. Выискивать их в литературе в целом неразумно. Перед началом работы над новым проектом обычно достаточно пары подходящих обзоров для того, чтобы заново не изобретать колесо. Альтернатива может действительно принести вред. Я встречал много перспективных исследователей, которые не смогли многого достичь в науке потому, что они растратили своё время, копаясь в литературе, вместо того чтобы тратить его на поиск новых явлений."

- Снова хороший совет молодым исследователям. Со своей стороны скажу, что много лет тому назад, начав свою работу в научной лаборатории, я столкнулся с двумя уже матёрыми учёными, которые постоянно улучшали свои экспериментальные установки для подтверждения некоторых частных эффектов теплообмена излучением в условиях вакуума. Много лет спустя я стал уже руководителем небольшой группы, а эти установки так и не были завершены. Вывод: быть перфекционистом в науке, особенно экспериментальной, оказывается крайне вредно.


5. "Ещё более примечательно то, что наши графеновые образцы продемонстрировали изумительное электронное качество. ... электроны могли проходить субмикронные расстояния без рассеяния, "насмехаясь" над всем, что (находится) снаружи. Уникальность электронных свойств графена противоречит интуиции. Это также противоречит общепринятой точке зрения, что физика поверхности требует сверхвысокого вакуума и что даже при его наличии качество тонких плёнок непрерывно ухудшается по мере уменьшения их толщины. Оборачиваясь назад, можно сказать, что даже сейчас уникальность электронных свойств графена выглядит таинственно и фактически до сих пор в полной мере не раскрыта. ... Выявленный нами баллистический транспорт на субмикронные расстояния был достаточен для того, чтобы разжечь интерес к графену, и сделал возможным наблюдение многих квантовых эффектов."

- Не вдаваясь в детальный комментарий, скажу: "вот она новая физика, где зарыта!" Это не графен такой удивительный, это в нём так совпали условия, что смогли проявиться замечательные, неизвестные раньше свойства природы. Также, как они были обнаружены в конце прошлого века в проявлениях целочисленного и дробного эффекта Холла в образцах с двумерным "электронным газом". За которые, кстати, были присуждены аж целых две Нобелевские премии.
мнение Ж. Лошака из книги "Геометризация физики", 2005, с. 178-180: "Власть, которую теория групп обрела в физике, воплощает математическую власть вообще - с ее величием, красотой, плодотворностью, но также и со злоупотреблением ею и теми опасностями, о которых физики нашего столетия слишком уж склонны забывать. ... Настоящая опасность менее заметна и почти неизбежна. В самом деле роль математики в физике является двойственной. С одной стороны, она служит для адекватного перевода гипотез и моделей реальности, что лежат в основании физики, на некоторый формальный язык. Это делает возможным создание логических связей, невыразимых в обычном языке и позволяющих выводить из исходных принципов многочисленные следствия, которые допускают сравнение с опытом. Но это почти второстепенная роль, хотя она и неоспорима. Главная роль математики - структурная, и структурирование здесь заключается в предоставлении теории некоторого скелета, некоторой арматуры. Восхищаясь красотой теории, мы отдаем должное ее простоте, гармоничности и связному характеру ее гипотез, объединяющих в единое самосогласованное целое огромное количество фактов. Именно структура теории и ее формальная гармоничность вселяют в нас уверенность в надежности теории и приводят к мысли, что это человеческое творение, возможно, является творением самой природы.

Но особенно важно то, что математическая структура обладает собственными достоинствами и предстает перед нами в качестве независимого, отделенного от нас явления, заслуживающего изучения как таковое - не только как абстрактный математический объект, но как новый физический объект, который сам по себе есть часть природы и который, впрочем, обнаруживает двойственную способность подсказывать новые идеи и поднимать новые вопросы. Так, например, Герц говорил об уравнениях Максвелла:
"Нельзя удержаться от мысли, что эти математические формулы обладают независимым существованием и собственным рассудком, что они знают больше, чем мы, и даже больше, чем те, кто их открыл, и что мы выводим их них больше, чем было вложено в них изначально".


Именно в этой собственной жизни структур и формул одновременно и заключается сила математики, и таится ее опасность. Ее сила очевидна, тогда как опасность - менее очевидна, и заключается она в том, что необходимо принести жертву призраку. Жертвой здесь оказывается природа, а теория есть не что иное, как призрак, - нечто хрупкое, изменчивое, подверженное пересмотру, всегда находящееся под угрозой появления новой идеи или нового опыта. Теория, как говорил Эйнштейн, это "не что иное, как вопрос, заданный опыту". Математика - это скелет призрака.

Опасность заключается в соблазне отождествить теорию с природой, а математику - с теорией, счесть, что мир является релятивистским и квантовым, тогда как он совсем не релятивистский и квантовый, а такой, какой он есть. Столь же опасно считать, что специальная теория относительности является разделом теории групп, общая теория относительности - разделом теории римановых пространств, а квантовая механика - алгеброй операторов. В общем, опасность заключается в убеждении, что Бог сотворил мир для удобства математиков. Фраза Галилея "Книга природы написана на языке математики" стала знаменитой, но не следует забывать, что книга написана не Богом, а нами, поскольку именно мы описываем мир на этом языке. То, что мог написать Бог, остаётся тайной".


Нужно ли говорить, что мнение автора сей заметки совпадает с мнением автора книги? Мне самому было бы трудно так хорошо выразить изложенные мысли.
... Навеяно блогом aridmoors, в котором задаются острые и нелицеприятные вопросы про науку, в частности - биологию.


Недавно в нашем Институте прошла научная сессия, посвящённая вопросам интенсификации теплообмена: как сделать так, чтобы "нагреватели" работали ещё лучше, их тепло быстро снималось и передавалось куда надо, и чтобы никаких аварий вроде взрывного вскипания теплоносителя или разрушения источника тепла из-за сильного перегрева не было.

Ну, казалось бы, что нового можно сделать в такой "седой" (и, возможно, скучной) науке как теплофизика? Эмпирические законы термодинамики давно установлены, законы переноса тепла, массы и заряда открыты, свойства нужных материалов исследованы, их фазовые диаграммы определены. А вот случись увеличить скорость нужных процессов на несколько процентов, и мы радуемся как дети: в масштабах страны это оказывается гигантская экономия энергии, материалов, времени наконец.

Как же увеличить скорость этих, так нужных процессов? Ну, можно, например, подойти как можно ближе к критической температуре вскипания жидкого теплоносителя. Скорости испарения жидкости и, соответственно, переноса тепла здесь резко возрастают. Но не переходить за пределы, иначе теплообмен сильно падает и возникает угроза аварий. Можно увеличить давление в системе и работать более эффективно при повышенных температурах, но высокое давление грозит новыми авариями.

Можно увеличивать не сами скорости процесса, а удельную поверхность, с которой "снимается" тепло, делая в ней разные дырочки, насечки и другие искривления вплоть до размеров нано. И надеяться при этом, что волшебное слово "нано" так изменит теплофизические свойства используемых материалов, что не на проценты, а на десятки процентов процессы переноса будут более эффективными.

Так почему так трудно даются эти "проценты"? Почему медленное движение вперёд осуществляется исключительно методом "проб и ошибок"? Почему для этого наугад проводятся многие эксперименты с различными конструкциями, материалами и численными расчетами? Печатаются тысячи статей, среди которых так трудно выбрать верное направление? Почему возросшая мощь компьютерных технологий дала мощный толчок во многих областях физики, но не в области тепломассообмена?

А потому, что мы мало - почти ничего не знаем о реальных физических процессах, сопровождающих теплообмен. Вы можете этому не верить, держа перед собой вполне "эффективно" работающие модные "гаджеты", но практика показывает, что изменения в области теплообмена проходят очень медленно.

Мы не знаем, что на самом деле происходит с телом при нагревании, во что превращается тепло - какие элементарные возбуждения при этом возникают. Слова "возникают фононы" в кристалле явно недостаточны для объяснения, ибо совсем не затрагивают роль электронов, локализованных в "атомных оболочках" или делокализованных во всём кристалле. То есть, что-то, конечно, объясняют, но вопросы всё равно остаются. Жидкое состояние знаем совсем плохо, значительно хуже чем газообразное или твёрдое. Кинетическая теория на основе случайного, теплового движения атомов и молекул, созданная Больцманом ещё в позапрошлом веке, что-то нам объясняет, но не говорит главного: элементарное возбуждение в жидкости это вращение атомов, молекул и даже их групп, а не поступательное движение. Не зная во что превращается тепло, мы не можем предсказать, как будут изменяться свойства материалов при нагревании. Мы не можем предсказать ни сам момент фазового перехода, ни что произойдёт в результате этого перехода. И мощные компьютеры нам помочь не смогут. Можно и нужно упомянуть здесь работы Оганова, сумевшего рассчитать и, тем самым, предсказать кристаллическую структуру некоторых простых веществ и соединений. В том числе - ещё не открытых, но его работа потребовала создания специальной компьютерной программы перебора огромного количества возможных квантовых состояний, справедливых только при температуре абсолютного нуля, хотя и разных значениях давления. А вот работу Ландау о фазовых переходах второго рода упоминать не будем. Введённый им "параметр порядка", как мера удаления от фазового перехода, совсем не отражает ни дискретного характера элементарных возбуждений по мере приближения к переходу, ни изменения качества самих возбуждений после перехода.

Мы совсем или почти ничего не знаем о так называемых "когерентных структурах", возникающих в потоках жидкости и газа, участвующих в теплообмене. Примеры таких структур можно наблюдать в виде шестиугольных ячеек Бенара в горизонтальном слое жидкости, нагреваемом снизу. В валикообразном виде слоя сплошных облаков, видимых иногда из иллюминатора самолёта. В смерчах или торнадо, вдруг появляющегося из грозового облака. В различного рода упорядоченных вихрях, в закрученных струях или текущих плёнках жидкости. Сейчас это - модная и интенсивно исследуемая область науки, поскольку эти структуры очень сильно влияют на характер процессов, в которых участвуют. И очень хочется научиться ими управлять. Но пока не удаётся понять, что это за структуры, как они образуются, из чего состоят, как можно их изменить или разрушить. Дополнительную пикантность придаёт то, что эти структуры часто невидимы, об их существовании даже не подозревали. И только засеивание прозрачных потоков отражающими свет малыми частицами позволяет их обнаружить. И то, только после того, как фотографии частиц в потоке, полученные с разных направлений, будут обработаны специальными компьютерными программами. Вот где нужна огромная мощь вычислительной техники!

Подобные "когерентные структуры" возникают и на малых масштабах. И влияют, естественно, на теплообмен. Мы их не видим, не можем теоретически предсказать, часто не можем исследовать экспериментально из-за того, что частицы-маркеры становятся сравнимы с размерами этих структур. Но косвенным образом убеждаемся, что характерные масштабы искусственных неоднородностей в теплообменных аппаратах указывают на размеры этих структур. Которые может учитывать пока только методом "проб и ошибок".


Важно понимать уровень нашего незнания. Важно понимать, что объективно существуют некоторые вещи, которые мы не можем объяснить в рамках устаревших, но считающихся традиционными понятий и теоретических моделей. Важно работать в этом направлении, а не сочинять кучу ненужных статей для отчётов и заявок на гранты. Важно помнить, что метод "проб и ошибок" реально работает, и это единственное, что сейчас у нас есть.

Искренне Ваш, Дулин Михаил.
В предыдущей публикации был задан важный вопрос, касающийся того, как в экспериментально обнаруженном квантовом эффект Холла проявляет себя дискретное устройство нашего мира.


Вопрос 3. Почему ученые ограничиваются "неуклюжим", но традиционным описанием обоих эффектов - целочисленного и дробного - при помощи уровней Ландау вместо того, чтобы посмотреть, как дискретные элементы окружающего пространства заполняют двумерный слой электронов проводимости? Почему дробный эффект Холла описывается с учётом сильного взаимодействия между электронами, а целочисленный - нет, хотя проявляются в одном и том же эксперименте? Почему эффект Шубникова - де Гааза не рассматривается вместе с квантовым эффектом Холла, хотя основан на тех же самых принципах? Почему именно полуметалл висмут Bi оказался тем подходящим образцом, на котором и был открыт эффект Шубникова - де Гааза?

Предисловие, которого не должно было быть.
Не так давно в Институте математики СО РАН состоялся семинар, посвященный обсуждению простейшей модели гистерезиса, наблюдаемом во многих реальных физических системах. Явление гистерезиса, которое имеет принципиально квантовый характер (дискретный и нелокальный по времени - кому не по душе слово "квантовый"), рассматривалось классически с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений. Естественно, возникают проблемы: существование решения и его единственность, вид его асимптотического поведения вблизи особых точек (спасибо анализу бесконечно малых!) и, вообще, каков может быть предел, если он существует. То есть, рассматривались проблемы, которых на самом деле не существует! Их нет в природе, но они есть в поставленных таким образом математических задачах. Которые представляют "жуткий" интерес и возможность продемонстрировать силу и гибкость нашего ума. Вот с учетом такой позиции "математика" и нужно, я думаю, рассматривать существующие теоретические модели для описания квантового эффекта Холла. Со всеми возникающими там "трудностями".

Необходимое предисловие.
Предыдущие две фундаментальные проблемы (https://vida-louca.livejournal.com/18106.html), (https://vida-louca.livejournal.com/18604.html) и их обсуждение касались дискретной структуры различных физических пространств, их взаимодействия и взаимного превращения друг в друга. В этот раз мы попробуем разобрать экспериментальное подтверждение заявленных ранее дискретных свойств физических пространств на примере квантового эффекта Холла, наблюдаемом в двумерной системе электронов на плоскости в сильном поперечном магнитном поле. Этот эффект, целочисленный и дробный, уже вызвал немалый интерес в научном мире, а авторы открытий заслуженно получили целых две Нобелевские премии. Тем не менее, его теоретическое объяснение остаётся неполным и противоречивым, а значение для науки остаётся недооценённым. На самом деле, если посмотреть немного под другим углом зрения, квантовый эффект Холла вместе с эффектом Шубникова - де Гааза показывает, как и почему изначально квантовая система постепенно превращается в классическую. Что само по себе на сегодня является важной нерешённой проблемой. Более того, результаты квантового эффекта Холла могут служить хорошим основанием для теоретического построения такой науки как термодинамика, которая в настоящем классическом варианте является наукой сугубо эмпирической. Чем мы, вероятно, и займёмся в последующих публикациях. При этом специально уделив внимание разделу дискретной термодинамики, отличающейся от обычной так же, как отличается квантовая механика от классической.

Ответ. Как вы, возможно, уже догадываетесь, разбирать квантовый эффект Холла мы опять будем с позиций кванта действия h, имеющим название постоянная Планка. Но сначала посмотрим, как всё это выглядит на основе классических представлений. Нам известно ещё со школы, что в магнитном поле движущийся электрон начинает совершать круговые движения вокруг воображаемых магнитных линий с некоторой частотой eB/m (в системе СИ), называемой циклотронной, и одновременным дрейфом перпендикулярно приложенному напряжению. В классическом представлении сопротивление возникает из-за рассеяния электронов на различного рода центрах, мешающих его движению, что приводит к некоторой его величине в продольном и перпендикулярном направлении. В последнем случае это называется холловским сопротивлением, которое равняется величине B/ne, где n - плотность электронов в двумерном образце. Схема эксперимента представлена на рис.1, а на рис.2 можно наблюдать линейное зависимость сопротивления при слабых значений поля.

Рис.1.


Рис.2.

При сильных значениях поля поведение электронов кардинально меняется. Вот как пишет профессор Tong D. [The Quantum Hall Effect. 2016, arXiv] с.7: "Возьмём какое-то количество электронов, поместим их на двумерную плоскость и включим сильное магнитное поле. В таком устройстве мы можем увидеть удивительный результат: холловское сопротивление будет иметь дискретные значения h/ie^2, где i - целое число. Мы привыкли, что обычно квантование происходит на атомарном уровне, но здесь иное дело: квантование величины сопротивления оказывается макроскопическим свойством достаточно "грязной" системы многих частиц. Требуется нечто новое для объяснения такого свойства, и этим новым может оказаться существенная роль ТОПОЛОГИИ в такой системе." - Профессор Tong лукавит: он не сможет увидеть желаемый эффект при очень маленькой и очень высокой подвижности электронов. Некая средняя подвижность нужна, да ещё и при низких температурах, чтобы существовала конкуренция между стремлением электронов поддерживать постоянный ток и стремлением максимально ослабить магнитное поле в условиях "неидеальной" кристаллической решетки. И эксперименты действительно на это указывают.

Одним из лучших достижений в своей жизни Лев Давидович Ландау считал описание диамагнитных свойств вещества при помощи дискретных уровней энергии электронов в магнитном поле, сделанное им в 1930 году. Применительно к эффекту Холла уровни Ландау представляют собой E(k) = (k+1/2)(h/2пи)(eB/m), где (eB/m) - циклотронная частота, а k - целое число. Как видим, они эквидестантны и подобны дискретным уровням гармонического осциллятора. За неимением ничего лучшего именно эта универсальная модель, хорошо известная физикам-теоретикам, была применена к описанию квантового эффекта Холла. В рамках такого подхода считается, что при заданной величине магнитного поля все уровни Ландау ниже некоторого k-ого уровня полностью заняты электронами, а количество электронов (вырождение) на каждом уровне пропорционально числу квантов магнитного потока h/e, проходящих через всю площадь образца S. Величина вырождения приобретает здесь важный геометрический смысл, поскольку показывает, насколько плотно кванты магнитного потока h/e "упаковываются" на площади образца S при заданном магнитном поле B. Она равняется (BS)/(h/e), а площадь, занимаемая одним квантом, составляет h/eB. При такой плотности упаковки квантов потока можно сосчитать, сколько электронов приходится на один квант. Это зависит от плотности электронов n в образце и будет равняться (n/B)(h/e). Именно целая часть от этого числа в точности совпадает с целым числом k заполненных уровней Ландау и этим же целым числом i в обнаруженных дискретных значениях холловского сопротивления h/ie^2.

Первые трудности в подходе, основанном на энергетических уровнях Ландау, возникают при попытке объяснить, как согласуется непрерывное изменение магнитного поля B со СТРОГИМ постоянством сопротивления h/ie^2 на достаточно протяжённых плато рис.2. Кроме того, полученные выше значения числа вырождения и числа заполненных уровней Ландау тоже оказываются нецелыми и меняются при изменении поля B. Какие же объяснения предлагают разные авторы?

Лауреат Нобелевской премии von Klitzing K. пишет в сборнике [25 Years of Quantum Hall Effect. In: Doucot B. et al (Eds.) The Quantum Hall Effect. 2005.] на стр.3: "Холловское сопротивление на плато может быть измерено при помощи всего лишь вольтметра и амперметра. Для этого нам не понадобится ни знание плотности электронов, ни величина магнитного поля, ни даже геометрия исследуемого образца". - Красиво сказано! Ведь измеряется величина, составленная исключительно из двух фундаментальных констант: постоянной Планка h и заряда электрона e.

Покровский В.Л. [Ландау и современная физика. УФН, 2009, т.179, №11, c.1237] с.1240: "Причиной появления ступенчатой зависимости проводимости от обратной величины 1/B магнитного поля является ЛОКАЛИЗАЦИЯ всех состояний данного уровня Ландау примесями, за исключением одного КРАЕВОГО состояния, соответствующего ДРЕЙФУ электрона вдоль границы образца". - Слово "ЛОКАЛИЗАЦИЯ" использовано верно, поскольку проводимость постоянному току обращается строго в ноль, но в чём она заключается, каков её механизм, - неизвестно и пока не объясняется.

Тот же Tong на стр.42 пишет: "Считается, что целочисленный эффект может быть понят и описан без учёта ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ между электронами". - То есть, в одноэлектронном приближении. Конечно, это не так, и ниже мы об этом скажем. Но, если те же электроны одновременно участвуют в дробном квантовом эффекте Холла, то ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ между электронами у теоретиков считается ОБЯЗАТЕЛЬНЫМ. Как-то непоследовательно получается.

А на стр.50 читаем: "Каждое "плато" для холловского сопротивление в целочисленном случае ОБЯЗАНО своим существованием БЕСПОРЯДКУ в двумерном слое образца. Иными словами - наличию грязи. Эта грязь моделируется введением случайного потенциала V(x) в гамильтониан". - Когда-то профессор Осадчиев, ученик академика Мигдала, говорил мне, что теоретики "грязью" не занимаются. Ну вот наступили другие времена: без введения "грязи" квантовый эффект Холла не проявляется. И не проявится, поскольку она является неким барьером, который требуется преодолеть, чтобы система электронов перескочила с одного плато на другой.

Бурмистров И.С. [Введение в теорию целочисленного квантового эффекта Холла. 2015] с.5: "Последовательная теория квантового эффекта Холла должна учитывать одновременно наличие сильного магнитного поля, случайный потенциал, создаваемый примесями, и электрон-электронное взаимодействие". - Можно согласиться с такими общими соображениями, вот только какой будет эта последовательная теория? Ещё заметим, что влияние примесей и неоднородностей самой кристаллической решетки НЕЛЬЗЯ свести к некоторому потенциалу из-за нелокального взаимодействия с ними электронов, связанных квантом магнитного потока в единую, целостностную систему.

Girvin S.M. в работе [The quantum Hall effect. Novel excitations and broken symmetries. 1999] пишет более конкретно о том, что целочисленный эффект наблюдается благодаря ФАЗОВОМУ ПЕРЕХОДУ электронов в локализованные состояния, но другого типа, чем при отсутствии магнитного поля. Беспорядок нужен, чтобы РАЗРУШИТЬ трансляционную симметрию. Что с каждым плато целочисленного холловского сопротивления ассоциируется драматическое падение (до нуля) диссипативного сопротивления постоянному току. Система "плато" выглядит как последовательность фазовых переходов из одного бездиссипативного состояния в другое. Каждое состояние характеризуется незатухающим током, как в сверхпроводниках. - Здесь уже появляется НОВАЯ идея о переходах с одной ступеньки сопротивления на другую как о последовательности фазовых переходов. Это - ХОРОШАЯ ИДЕЯ, как мы увидим впоследствии, вот только фазовые переходы будут связаны с переходом одного единственного электрона из одного коллектива в другой, а это - совсем не те фазовые переходы, о которых пишут в учебниках.

Теперь рассмотрим дробный квантовый эффект Холла, экспериментальные данные по которому представлены на рис.3.

Рис.3.

Сразу отметим одну особенность: дробный эффект появляется при тех же больших значениях магнитного поля и низких температурах, что и целочисленных эффект, но для него нужна более высокая ПОДВИЖНОСТЬ электронов или, другими словами, - более "чистый" образец. Как видно на рис.3, для таких образцов на месте обычных плато для целочисленного эффекта появляются новые менее протяженные плато, на которых сопротивление также строго постоянно, но его величина приобретает СТРАННОЕ значение. Это значение оказывается странным потому, что оно соответствует некоторому рациональному числу или дроби, у которой есть целый числитель и обязательно нечётный знаменатель. Выглядит всё так, как будто заряд электрона и заполнение уровней Ландау становится ДРОБНЫМИ! Хотя в остальном электроны ведут себя, как будто обладают целым зарядом.

Вот что пишут упомянутые выше авторы о дробном эффекте.

Tong на стр.76 упомянутой выше книги: "Первый подход к описанию дробного квантового эффекта сделал Нобелевский лауреат Лафлин Р.Б. для фактора заполнения 1/j, где j - целое нечётное число. Вместо того, чтобы решить трудную задачу - диагонализировать имеющийся гамильтониан, он просто ПРИДУМАЛ ответ! С учетом своей интуиции и имеющегося опыта". - Получается, что объяснения нет. Но электроны у Лафлина уже должны принципиально взаимодействовать друг с другом.

Покровский В.Л. [там же] на стр.1241: "Лафлин объяснил особенность дробного квантового эффекта Холла на частном примере заполнения уровня Ландау 1/3, когда на каждый электрон приходится по ТРИ КВАНТА магнитного потока". - Это объяснение привело впоследствии к вручению ему Нобелевской премии и поднятому ажиотажу по поводу возможной аналогии с дробным зарядом КВАРКОВ.

Girvin [там же] считает, что для описания дробного эффекта требуется ДРУГАЯ базовая физика, основанная на "кулоновском" взаимодействии электронов между собой. Что электроны образуют особое квантовое состояние, описываемое ДРОБНЫМИ квантовыми числами и соответствующее особой для них ДРОБНОЙ статистике, промежуточной между статистиками для фермионов и бозонов. Что каждое новое ДРОБНОЕ состояние - это новое СОСТОЯНИЕ вещества, для описания которого требуется новый вариант квантовой теории поля. Что каждый параметр порядка для новой фазы представляет собой нечто невообразимое. - Красиво сказано, вот только классического "кулоновского" взаимодействия может не быть в двумерном случае, также как и ТРЁХМЕРНОГО электромагнитного поля. А вот состояние электронов действительно оказывается особым: вместе с квантом магнитного потока они образуют сильно связанное состояние - квазичастицу, которая может вполне подчиняться необычной статистике. Про квантовую теорию поля и параметр порядка для фазовых переходов - будет лучше ничего не говорить.

Теперь, что происходит на самом деле.

При очень слабых магнитных полях B, когда площадь сечения одного кванта магнитного потока s=h/eB превышает площадь образца S, все электроны находятся внутри этой площадки и реагируют на поле КЛАССИЧЕСКИМ образом, поскольку их число очень велико, а вклад каждого в ослабление кванта потока поля, соответственно, очень мал. Реакция каждого электрона на магнитное поле заключается в малом дополнительном искривлении их "траектории", но таком, что полная сумма этих искривлений составляла бы величину кванта действия h. Здесь каждое искривление представляет собой угол сектора, который соответствует участку дуги, по которой вынужден "двигаться" электрон. Суммарная величина всех углов будет равна 2пи, а интегральный вклад в величину действия - h, но за время, определяемое циклотронной частотой eB/m. Возможно, это условие нужно сделать более мягким: за время, пропорциональное полному числу электронов N=nS, интегральное действие должно составлять целую величину Nh. Вклад каждого электрона в холловское сопротивление будет тоже мал, так что общее сопротивление совпадает с классическим значением B/ne или BS/Ne, где BS - полный поток магнитного поля, N - полное число электронов в образце. (К сожалению, редактор ЖЖ не позволяет нам выписывать даже относительно простые формулы).

Что произойдёт, если с дальнейшим увеличением магнитного поля площадь кванта потока s будет меньше площади образца S? Ничего особенного не произойдёт. Электроны по-прежнему будут вести себя классически из-за малости вклада каждого. В силу отмеченной выше пропорциональности холловского сопротивления потоку магнитного поля BS и его обратной пропорциональности полному числу электронов N не будет иметь значения, где расположены электроны: внутри площадки s или за её пределами. Для однородного образца существует трансляционная симметрия вдоль его поверхности, и условно можно считать, что все электроны поровну распределяются между двумя не полностью вошедшими квантами магнитного потока. Так будет правильно считать и с точки зрения термодинамики: у электронов одной области не будет никакого преимущества перед электронами другой.

Пока на одну площадку s кванта магнитного потока будет помещаться макроскопически большое количество электронов ns, мы будем наблюдать классический эффект Холла. Интересное начнётся, когда число электронов станет небольшим. Небольшим для того, чтобы частичка действия, затраченная каждым электроном, была сравнима с постоянной Планка h. И здесь уже нужно рассматривать конкуренцию с действием, затрачиваемым на осуществление постоянного тока в продольном направлении, которое мы пока не рассматривали.


Из классической механики известно, что из многих возможных траекторий материального тела реализуется та, вдоль которой интегральное действие будет МИНИМАЛЬНЫМ. Говорят, что такое движение подчиняется принципу наименьшего действия. Этот принцип справедлив и для больших коллективов частиц, для которых часто используется термодинамический подход. Так, равновесная конфигурация коллектива частиц, взаимодействующих с внешним окружением, становится такой, чтобы это взаимодействие оказалось минимальным. Кто-то рассматривает при этом минимальную работу, кто-то - производство энтропии, мы же будем говорить о минимальном действии, которое наша система затрачивает или отдаёт окружению. Вот, исходя из этого положения, наша система электронов осуществляет постоянный ток при отсутствии магнитного поля по путям с наименьшим интегральным действием. Есть ещё один принцип, связанный с действием, и относится он к НЕРАВНОВЕСНОЙ термодинамике. Со времён Пригожина и даже раньше существуют попытки найти и обосновать принципы, которые помогли бы рассматривать на равных основаниях термодинамику равновесную и неравновесную. Мы будем рассматривать принцип МАКСИМАЛЬНОГО ПЕРЕНОСА действия. Этот принцип основан на рассмотрении с точки зрения действия таких экспериментов как естественная конвекция Рэлея, течение закрученных струй жидкости и газа, эффект Ранка и других. Для квантового эффекта Холла этот принцип говорит, что и участие в постоянном токе, и ослабление магнитного поля являются двумя разными, но существующими одновременно ответами системы на вынужденную неравновесность.

При малых значениях магнитного поля и "слабых" токах два разных процесса не мешают друг другу, и электроны ведут себя классически, с постоянной скоростью ослабляя приложенное электрическое напряжение и магнитное поле. А при сильном магнитном поле процесс его ослабления становится ПРЕОБЛАДАЮЩИМ в том смысле, что двигаясь преимущественно под влиянием магнитного поля электрон выбирает наилучшие пути, чтобы его рассеяние на атомах (дополнительное действие) было минимальным. Иногда оно становится настолько малым, что обращается СТРОГО в нуль в области плато на рис.2. Удивительная закономерность, которую стоило бы применить к объяснению явления сверхпроводимости!

Как возникают плато сопротивления и как происходит переход между ними в целочисленном эффекте Холла? Рассмотрим некоторую отправную точку, когда значение магнитного поля B таково, что площадки s=h/eB каждого кванта потока содержат равное малое количество электронов и максимально плотно заполняют поверхность образца. Некоторое дальнейшее увеличение поля приводит к уменьшению размера площадок и неплотному заполнению ими поверхности. Эти промежутки могли бы быть заполнены одним или большим количеством площадок квантов потока, но заполнят ли их уже занятые электроны с других площадок, будет ли им это выгодно?

Всё зависит от способности исходного образца рассеивать электроны при их движении, то есть от величины их подвижности. Если образец достаточно чистый, а подвижность электронов высокая, соседние площадки могут отдать по одному электрону новой пустой площадке, так что ослабление магнитного поля увеличится на один квант потока, а рассеяние электронов "матрицей" образца не изменится или увеличится слабо. В этом случае мы будем наблюдать дробный эффект Холла с дробью, у которой числитель дроби больше знаменателя. Например дробь 5/3 на рис.3 можно представить как систему, в которой на каждые два кванта с двумя электронами приходится один квант с одним электроном. И такое соотношение равномерно распределено по всему образцу. Дробь 7/5 соответствует двум "двойным" квантам и трём "одинарным", дробь 4/3 - одному "двойному" и двум "одинарным". (Жаль, не могу нарисовать здесь поясняющий рисунок.) В случае идеального образца каждый новый заполненный квант потока приводил бы к небольшому увеличению холловского сопротивления и его зависимость от магнитного поля выглядела бы линейной как в классическом случае с маленькими незаметными ступеньками. (Вот почему физики-теоретики уверяют нас в необходимости "грязи" в образце для наблюдения эффекта!)

Поскольку образец на рис.3 не очень идеальный, новые площадки появляются на местах с существенно более сильным рассеиванием электронов и остаются незаполненными. Пока их не появится настолько много, что будут возможны описанные выше комбинации из небольшого набора квантов (5/3, 7/5, 4/3 и др). Заметим, что мы пока не касаемся эффекта с дробями меньше 1. Это ещё более интересная ситуация, и мы её опишем немного позже.

Для ещё более "грязных" образцов на рис.2 при увеличении магнитного поля и освобождении дополнительного пространства никаких малых комбинаций из по-разному заполненных квантов не возникает. Это не выгодно из-за большего рассеяния электронов на новых местах. Новые системы из одинаково заполненных, но меньших на один электрон квантов, возникают сразу, как только для этого оказывается достаточно места. Из системы одинаковых квантов, содержащих i электронов, возникают кванты с i-1, i-2, i-3 и так далее вплоть до по-видимому ПРЕДЕЛА: кванта с одним электроном. Так возникают протяжённые плато, длина которых может быть оценена как изменение магнитного поля, пропорциональное величине 1/(i-1) - 1/i = 1/i(i-1), где i - число электронов на квант магнитного потока. Видим, что при малых значениях i или больших значениях поля, плато должно быть более протяженным. Что и наблюдается на рис.2.

Что будет для совсем грязных образцов? Наверное, то же, что и для "хороших" образцов, но при повышенных температурах, например, - комнатных. Высокие температуры означают невозможность для электронов найти в образце достаточное количество площадок без рассеяния. Какие-то площадки с минимальным рассеянием находиться будут, но нерегулярно, что приведёт к неупорядоченной, непонятной зависимости холловского сопротивления. Но в среднем - линейной зависимости от величины магнитного поля.

Теперь о том, что означает дробный квантовый эффект с величиной дроби меньше единицы. Как уже упоминалось выше, это наблюдается только в "хороших" образцах с высокой подвижностью электронов и связывается многими авторами с реальным или кажущимся ДРОБНЫМ ЗАРЯДОМ электрона. Когда уже на один электрон приходится несколько квантов магнитного потока. Как это может быть? Никто не знает. Вот Лафлин рискнул описать и обосновать взаимодействием электронов между собой случай дроби 1/3 и выиграл приз в виде Нобелевской премии. Мы же попробуем описать этот эффект опять с позиций кванта действия и вспомним некоторые похожие экспериментальные результаты из других областей физики.

Сразу после единички на рис.3 идёт дробь 4/5, далее - дробь 2/3, странное плато (но для обычного сопротивления) при 1/2, после неё дробь 2/5 и, наконец, лафлиновская дробь 1/3. Формально эти дроби объясняются так: 4/5 это комбинация трёх "одиночных" квантов и одного "удвоенного" - с одним электроном на двух квантах потока; 2/3 - одного "одиночного" и одного "удвоенного" кванта; 1/2 - система всех одинаковых "удвоенных" квантов. Нужно отметить, что дробь 1/2 выглядит как неустойчивая, сингулярная точка, в окрестности которой плотно расположены многие дроби с нечётным знаменателем. Вот из-за наличия множества этих дробей справа и слева от дроби 1/2 на холловском сопротивлении мы видим не плато, а "непрерывную"
линейную зависимость. Кстати, эта сингулярная точка 1/2 не единственная. В точках 3/2, 5/2, которые больше единицы, мы видим такую же картину. Далее дробь 2/5 означает комбинацию их одного "удвоенного" и одного "утроенного" кванта. Наконец, дробь 1/3 представляет систему с одними только "утроенными" квантами. Что бросается в глаза: и справа, и слева от единички картина полностью СИММЕТРИЧНА. Там, где слева в комбинацию входят кванты с одним и двумя электронами, справа электроны и кванты потока меняются местами, и мы видим уже комбинации из одинарных, удвоенных и утроенных квантов. Думаю, для некоторых образцов, устойчивых к воздействию больших магнитных полей, можно получить комбинации с большим количеством "привязанных" к одному электрону квантов потока.

Теперь о природе связанных с одним электроном нескольких квантов магнитного потока. А что мы вообще знаем о природе достаточно сильных воздействий на физическую систему, заканчивающихся переходом системы в новое состояние? Вот, например, нагрев твердого тела до температуры плавления. Что происходит дальше? Вы скажете - фазовый переход, параметр порядка, изменение симметрии. А я скажу - образование нового пространства после достижения определённого предела при заполнении старого пространства элементами действия h. Даже академик Стишов в одной из своих ранних работ писал, что энтропия разных веществ при плавлении стремится к пределу ln2 в некотором асимптотическом приближении. А энтропия ln2 говорит о появлении новой двухуровневой системы, где есть основное состояние и возбуждённое, которое нужно понимать как вращение. А что с этим вращением происходит при переходе от ламинарного течения к турбулентному? Никто не знает. Вот даже институт Филдса грозится дать миллион долларов тому, кто докажет существование и единственность решения уравнений Рейнольдса. Но было бы неплохо сначала выяснить, чем является турбулентное течение, и может ли оно соответствовать усреднению уравнений Навье-Стокса, после которого и получаются уравнения Рейнольдса. На самом деле всё просто: турбулентность начинается после достижения структурной единицей в жидкости (атомом, молекулой) естественного предела - вращения с величиной момента импульса, равной кванту действия h. А дробные заряды кварков 1/3 и 2/3 величины e? Которые проявляют себя косвенным образом при очень сильном, очевидно - предельном воздействии на протоны или нейтроны. Не говорит ли это об образовании частичек нового пространства при слишком сильном возбуждении частичек пространства старого? Возбуждении, о котором в своё время писал Вайскопф как о способе получения новых "элементарных" частиц.

Так может быть удвоенные, утроенные и так далее кванты магнитного потока на одном электроне - это возбуждение дополнительного двумерного пространства, параллельного уже имеющемуся? Которое ВЫНУЖДЕНО появляться в ответ на слишком сильное магнитное поле?

Наконец, немного об эффекте Шубникова-де Гааза. Вот что пишут о нём известные физики.

Бурмистров И.С. [Введение в теорию целочисленного квантового эффекта Холла. 2015] с.88: "Целочисленный квантовый эффект Холла принципиально отличается от квантовых осцилляций проводимости Шубникова – де Гааза в магнитном поле".

Брандт Н.Б., Чудинов С.М. [Эффект Шубникова - де Гааза и его применение... УФН, 1982, т.137, в.7, с.479]: "Эффект ШдГ оказался первым обнаруженным экспериментально проявлением диамагнитного (ландаувского) квантования энергии электронов в твёрдом теле и обусловлен осциллирующей зависимостью от магнитного поля электронной плотности состояний на уровне Ферми".

Другие исследователи полагают, что в ОБЪЁМНЫХ материалах эффект Шубникова - де Гааза можно наблюдать только в сильных магнитных полях, забывая о том, что истинная причина открытия эффекта заключается в том, что исследованный образец полуметалла Bi имел принципиально СЛОИСТУЮ кристаллическую структуру, и что отсутствие выделенной плоскости в образце не позволило бы создать в проекции плотную упаковку сечения квантов потока, как это происходит в двумерном образце. Считается, что на уровнях Ландау в таких образцах возникают "пучности" и "понижения" плотности электронных состояний, которые и отвечают за колебания магнитопроводимости при последовательном пересечении этих уровней уровнем энергии Ферми газа электронов.

Теперь мы уже знаем, как возникает квантовый эффект Холла в двумерных образцах, и понимаем, что эффект Шубникова - де Гааза ничем от него не отличается. За исключением разве того, что в объёмном образце висмута много параллельных слоёв, которые дают суммарный вклад в величину наблюдаемого сопротивления, имеющего сглаженный синусоидальный характер из-за отличающейся ориентации слоёв в различных областях (доменах) полуметалла.

Заключение. Таким образом, подробное рассмотрение квантового эффекта Холла на основе кванта действия h даёт нам все основания не только для обоснования классической термодинамики, но и создания нового раздела ДИСКРЕТНОЙ термодинамики, отличающейся от современных попыток создать КВАНТОВУЮ термодинамику. Этому, я надеюсь, будут посвящены следующие публикации в блоге.


Искренне Ваш, Дулин Михаил.